连续复利的数学公式推导

1. 后付年金现值，后付年金终值，先付年金现值，先付年金终值的公式是怎么推导出来的？
2. 马考勒久期公式推导？
3. 复利计算公式推导过程？
4. 复利公式推导？
5. 求教，连续复利和年复利这两个有什么区别？

后付年金现值，后付年金终值，先付年金现值，先付年金终值的公式是怎么推导出来的？

后付年金现值推导公式：

根据复利现值方法计算年金现值公式为：

P=A(1+i)^-1+A(1+i)^-2+A(1+i)^-3+……+A(1+i)^-n

将两边同时乘以（1+i）得：

P(1+i)=A(1+i)+A(1+i)^-1+A(1+i)^-2+……+A(1+i)^-(n-1)

两者相减得

P=A*{[1-(1+i)^-n]/i} 式中，[1-(1+i)^-n]/i为“年金现值系数”，记作(P/A,i,n) =A(P/A,i,n)

后付年金终值推导公式

根据复利终值方法计算年金终值公式为：

F=A+A(1+i)+A(1+i)^2+A(1+i)^3+……+A(1+i)^n-1

将两边同时乘以（1+i）得：

F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)^2+A(1+i)^3+A(1+i)^4+……+A(1+i)^n

两者相减得

F=A*{[(1+i)^n-1]/i}式中，[(1+i)^n-1]/i为“年金终值系数”，记作(F/A,i,n)=A(F/A,i,n)

先付年金终值计算公式：

F=A(1+i)+A(1+i)^2+A(1+i)^3+A(1+i)^4+……+A(1+i)^n

F=A*{[(1+i)^n-1]/i} *(1+i)=A(F/A,i,n)*(1+i)或F=A[(F/A,i,n+1)-1]

先付年金现值计算公式：

P=A+A(1+i)^-1+A(1+i)^-2+A(1+i)^-3+……+A(1+i)^-(n-1)

P=A*{[1-(1+i)^-n]/i} *(1+i)=A(P/A,i,n)(1+i)=A[(P/A,i,n-1)+1]

马考勒久期公式推导？

Macaulay久期就是从当前时刻至到期日之间所有现金流流入的加权平均时间间隔。

债券价格B=∑Ci·e^(-y·Ti)

其中Ci表示各付息日Ti的现金流入 y表示连续复利计算的到期收益率

将B对y求导并除以B取负号就得到了麦考利久期

D=-dB/dy·1/B=∑[Ci·e^(-y·Ti)]·Ti/B

当收益率有一微小的变动△y时

B（y）在y.处一阶泰勒展开为B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y

则△B/B=dB/dy·1/B·△y

由D=-dB/dy·1/B得△B/B=-D·△y

当△y较大时，需要对B（y）在y.处二阶泰勒展开：

B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y+1/2·d²B/dy²·(△y)²

△B/B=dB/dy·1/B·△y+1/2·1/B·d²B/dy²·(△y)²

凸度C=1/B·d²B/dy²

代入得到△B/B=-D·△y+1/2·C·(△y)²

复利计算公式推导过程？

假设本金为P，年利率为r，投资期限为n年。每年的利息都会被重新投资，所以最终的收益是本金和所有利息的总和。

第一年的收益是P × r，第二年的收益是(P + P × r) × r = P × r² + P × r。第三年的收益是[(P + P × r) + (P + P × r) × r] × r = P × r³ + P × r² + P × r。

可以看出，每一年的收益都包括了前面所有年份的本金和利息。因此，总收益就等于：

P(1+r)^n - P

其中，(1+r)^n表示复利计算中每一年本金和利息之间的乘积。这个公式可以进一步简化为：

P[(1+r)^n - 1]

这就是复利计算公式。

简单来说，在复利计算中，每一次计算都需要加上前面所有计算得到的本金和利息之和。而复合增长率就是用来描述这种累积效应的指标。

复利 由本金和前一个利息期内应记利息共同产生的利息。即由未支取利息按照本金的利率赚取的新利息，常称息上息、利滚利，不仅本金产生利息，利息也产生利息。复利的计算公式是： 其中：P=本金；i=利率；n=持有期限 普通年金终值 普通年金终值：指一定时期内，每期期末等...

复利

由本金和前一个利息期内应记利息共同产生的利息。即由未支取利息按照本金的利率赚取的新利息，常称息上息、利滚利，不仅本金产生利息，利息也产生利息。复利的计算公式是：

其中：P=本金；i=利率；n=持有期限

普通年金终值

普通年金终值：指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。

例如：每年存款1元，年利率为10%，经过5年，逐年的终值和年金终值，公式为：F=A[(1+i)^n-1]/i，记作F=A（F/A，i，n）。

推导如下：

一年年末存1元

2年年末的终值=1*(1+10%)=(1+10%)

2年年末存入一元

3年年末的终值=1(1+10%)^2+1(1+10%)=(1+10%)^2+(1+10%)

3年年末存入一元

4年年末的终值=1(1+10%)^3+1(1+10%)^2+1*(1+10%)=(1+10%)^3+(1+10%)^2+(1+10%)

4年年末存入一元

5年年末的终值=1(1+10%)^4+1(1+10%)^3+1(1+10%)^2+1(1+10%)=(1+10%)^4+(1+10%)^3+(1+10%)^2+(1+10%)

5年年末存入一元　年金终值F=(1+10%)^4+(1+10%)^3+(1+10%)^2+(1+10%)+1

复利计算是指在每个计算周期结束后，将利息加到本金上，然后在下一个计算周期中计算利息。以下是复利计算的推导过程：

设本金为P，年利率为r，计算的周期为n，计算周期内复利的次数为m，则每个计算周期的复利利息为P * (1 + r/m)^m - P。

现假设计算周期非常小，近似为极限情况下无限小的微小时间段dt。在这个微小的时间段内，本金和利息的变化可以表示为：

dP = P * r * dt （1）

此外，在这个微小的时间段内，复利的次数也可以表示为：

dm = n * dt

将dm代入原复利利息公式中，有：

P * (1 + r/m)^m - P ≈ P * (1 + r/(n*dt))^(n*dt) - P

取极限n趋向于无穷大，并将r和dt放到e的指数形式中，上述公式可以转化为：

P * e^(r*t) - P

其中，t代表计算的时间周期。这就是复利计算的最终公式。

需要注意的是，该推导过程是基于极限情况的近似推导，实际应用中可能存在误差。此外，复利计算公式也可以根据具体情况进行调整和变形，例如考虑税收、定期存款等其他因素。

复利的计算公式是：F=P*(1+i)^n。复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。

复利计算公式是计算前一期利息再生利息的问题，计入本金重复计息，即“利生利”“利滚利”。它的计算方法主要分为2种：一种是一次支付复利计算；另一种是等额多次支付复利计算。

复利计算有间断复利和连续复利之分。按期（如按年、半年、季、月或日等）计算复利的方法为间断复利；按瞬时计算复利的方法为连续复利。在实际应用中一般采用间断复利的计算方法。

复利公式推导？

复利公式是指本金和利息再次投资，产生的利息也会再次投资，从而形成更多的利息。复利公式的推导如下：

F=P(1+r)^n

其中，F为本利和，P为本金，r为年利率，n为期数。

例如，如果你有1000元本金，年利率为5%，投资期限为3年，那么你可以得到以下计算结果：

F=$1000(1+0.05)^3$ =1157.625元

因此，在3年后，你将会得到1157.625元的本利和。

复利 由本金和前一个利息期内应记利息共同产生的利息。即由未支取利息按照本金的利率赚取的新利息，常称息上息、利滚利，不仅本金产生利息，利息也产生利息。复利的计算公式是： 其中：P=本金；i=利率；n=持有期限 普通年金终值 普通年金终值：指一定时期内，每期期末等...

复利

由本金和前一个利息期内应记利息共同产生的利息。即由未支取利息按照本金的利率赚取的新利息，常称息上息、利滚利，不仅本金产生利息，利息也产生利息。复利的计算公式是：

其中：P=本金；i=利率；n=持有期限

普通年金终值

普通年金终值：指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。

例如：每年存款1元，年利率为10%，经过5年，逐年的终值和年金终值，公式为：F=A[(1+i)^n-1]/i，记作F=A（F/A，i，n）。

推导如下：

一年年末存1元

2年年末的终值=1*(1+10%)=(1+10%)

2年年末存入一元

3年年末的终值=1(1+10%)^2+1(1+10%)=(1+10%)^2+(1+10%)

3年年末存入一元

4年年末的终值=1(1+10%)^3+1(1+10%)^2+1*(1+10%)=(1+10%)^3+(1+10%)^2+(1+10%)

4年年末存入一元

5年年末的终值=1(1+10%)^4+1(1+10%)^3+1(1+10%)^2+1(1+10%)=(1+10%)^4+(1+10%)^3+(1+10%)^2+(1+10%)

5年年末存入一元　年金终值F=(1+10%)^4+(1+10%)^3+(1+10%)^2+(1+10%)+1

求教，连续复利和年复利这两个有什么区别？

连续复利的讲法存在300多年了，但这种讲法是错误的，我们可以从多方面分析其错误。

这里仅从初等数学看看连续复利法推导看一下。

连续复利公式的推导是，根据公式

A。(1+r)^t (1)

推出复利分期计算公式

A。(1+r/m)^(mt) (2)

再推出连续复利公式A。e^(rt) (3)

这就是根据A。(1+r)^t推出A。e^(rt).

1 以年利率r=10%为例，这就是根据

A。(1+10%)^t推导出了A。e^(0.1t)

=A。(1+10.517%)^t

这也就是根据A。(1+10%)^t推导出A。(1+10.517%)^t，比较一下相同的字母和数字，就是根据10%推导出了10.517%。

这是用世界上任何知识都推不出来的。仅凭这一点就可以断定，这种连续复利计算是错误的。

2 公式(1)是离散计算，t只取整数 ，把t=3代入(1)推导，得出(3)式为A。e^(3r) ，就是说，(3)式与(1)式时间变量取值是相同的，在(1)中t只取整数，在推导出的(3)式A。e^(rt)中时间变量t还是只取整数，从所谓离散计算公式(1)推导出所谓连续计算公式(3)，讲了几百年的所谓连续计算，根本就没有推导出”连续计算”。

详细分析可看下面的文章。