如何推导余弦定理的过程

1. 余弦定理推导的过程是什么？
2. 正余弦定理推导过程？
3. 余弦定理是如何推导出来的？

余弦定理推导的过程是什么？

方法之一：建立直角坐标系，让△ABC的AB边与X轴正半轴重合，A点与原点重合。

则A（0，0），B（c，O），C（b.COSA，b.SinA）于是BC=√（c-b.C0SA）^2+（0—bSinA）^2。

由于BC=a，将上式化简整理得到a^2=b^2+c^2-2bc.C0SA。

同理可推出另两个式子。

在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得：

　　AC2=AD2+DC2

　　b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2，

b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2，

　b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2，

　　b2=c2+a2-2accosB，

　　cosB=(c2+a2-b2)/2ac。

正余弦定理推导过程？

在某三角形ABC外接圆上,圆心为O.

AB边保持不变,连接AO并延长交圆于D,这样AD为圆的直径,连接DB.

这样角DBA为直角,因为AD为直径,

又因为在圆中,弧AB所对的圆周角：角C=角D.

所以：AB/sinC = AB/sinD

很容易看出：AB/sinD = AD = 2R

如此得出:AB/sinC = 2R.

同理可证:

AC/sinB=2R、BC/sinA=2R.

所以得到正弦定理：AB/sinC=BC/sinA=AC/sinB=2R R为外接圆半径.

正余弦定理公式证明过程

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB c)²+(a-cosB c)²

b²=(sinB*c)²+a²-2ac cosB+(cosB)²c²

b²=(sin²B+cos²B) c²-2ac cosB+a²

b²=c²+a²-2ac cosB

cosB=(c²+a²-b²)/2ac

余弦定理是如何推导出来的？

现教材余弦定理是用平面向量数量积推出来的。△ABC中，向量BC＝向量AC－向量AB，两边平方得a＾2＝b＾2＋C＾2一2bCcosA。未学平面向量之前运用两点间距离推导出来的。

推论：在△ABC中，若a2+b2=c2，则C为直角；若a2+b2＞c2，则C为锐角；若a2+b2＜c2，则C为钝角。

1，平面向量证法，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

2、平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2

b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2

b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2

b2=c2+a2-2accosB

cosB=(c2+a2-b2)/2ac